Sistemas numéricos y códigos
Jean Carlos Villamizar Yépez 28.268.455
Sistema de numeración Posiciónales
Entre esos sistemas posiciónales se encuentran:
De base 2 Sistema Binario, de base 8 sistema Octal y el de base 16 sistema hexadecimal.
El sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9).
Es el sistema de numeración mas usado en todo el mundo, sin embargo también se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. En el sistema decimal el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:
Donde las letras tienes los siguientes valores:
A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15.
Representación de Números Binarios con Signo
Un número binario con signo queda determinado por su magnitud y signo. Este último es el bit más a la izquierda en un número binario y si su valor es 0 indica que el número es positivo y 1 que es negativo.
Existen tres formatos binarios para representar números enteros con signo:
• Signo-magnitud: Se le añade el bit de signo a la magnitud binaria deseada y asignar al bit de signo un 1 o un 0 si queremos que sea negativo o positivo respectivamente. Ejemplo:
+5 = 0101 -5 = 1101
• Complemento a 1: Los números positivos se expresan igual que en el formato signo magnitud. Sin embargo, los negativos se obtienen realizando el complemento a uno del número positivo. Ejemplo:
+3 = 0011 -3 = 1100
El número positivo equivalente a un número negativo se obtiene realizando el complemento a 1 del número negativo.
• Complemento a 2: Los números positivos se expresan igual que en la forma anterior, aunque los negativos se obtienen realizando el complemento a dos del número positivo. El complemento a dos se obtiene realizando el complemento a 1 y sumando uno a dicho número complementado a 1. Ejemplo:
+5 = 0101 -5 = (-5)c1 + 1 = 1011
El número positivo equivalente a un número negativo se obtiene realizando el complemento a 2 del número negativo.
Códigos Binarios
El código binario permite entender y diseñar sistemas electrónicos digitales. También existen distintas configuraciones como BDC, ASCII, etc. Los códigos binarios son un arreglo de dos caracteres, 1 y 0. Entonces, con sólo estos dos dígitos se pueden representar a todo el conjunto de números, donde pueden realizar operaciones lógicas y aritméticas, incluso se pueden representar números imaginarios y reales. Dicha numeración se puede representar o medir en bits de información. Todos los sistemas electrónicos digitales funcionan bajo el principio del código binario. Existen dos posibles estados llamados: verdadero-falso, alto-bajo ó 1-0. Estos dos estados son representaciones abstractas de regiones de voltajes específicos.
En los sistemas de numeración posiciónales el valor de un dígito depende del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número, es decir el valor del símbolo está determinado tanto por su propia expresión, como por el lugar que ocupe dentro de la cifra, pudiendo valer más o menos o expresar distintos valores dependiendo de dónde se encuentre. El número de símbolos permitidos se le llama base del sistema de numeración. Si este sistema tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.
Entre esos sistemas posiciónales se encuentran:
De base 2 Sistema Binario, de base 8 sistema Octal y el de base 16 sistema hexadecimal.
El sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9).
Es el sistema de numeración mas usado en todo el mundo, sin embargo también se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. En el sistema decimal el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:
- El sistema binario, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario.´
- El sistema Octal, es un sistema en base 8, una base que es potencia exacta de la numeración binaria. Por ello su conversión a binario o viceversa es bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos del 0 al 7 y cada dígito tiene el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. En informática a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos.
- El sistema hexadecimal, es el sistema de numeración posicional que tiene como base el 16. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación donde las operaciones de la CPU suelen usar el byte u octeto como unidad básica de memoria. Esta conformado por diez números del 0 al 9 en conjunto con seis letras, siendo así el sistema:
Donde las letras tienes los siguientes valores:
A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15.
Ejemplos de conversiones
- Decimal – binario
El número decimal 32 o 32sub10 para indicar que es un número decimal, se divide entre dos, obteniendo 16, esto se divide igual entre 2, obteniendo 8, de igual forma la mitad seria 4 siguiendo esto tenemos al 2 y por ultimo el 1. Procedemos a escribir los residuos de cada división, obteniendo como resultado el binario 100000 o 100000sub2 (100000(2)).
- Binario – decimal
Se trabaja con los número de derecha a izquierda, así como agregándole de manera creciente una potencia de 2, el número binario es 10010, de esta manera 0x2^0: 0, 1x2^1: 2, 0x2^2:0, 0x2^3:0, 1x2^4:16, sumando cada resultado tenemos que el número en decimal es 17.
- Decimal – octal
Tomamos el número decimal 1524, en donde lo dividimos entre 8, obteniendo 190 con un residuo de 4, realizando la misma división al resultado anterior, tendríamos 23 con un residuo de 6, siguiendo esto tendríamos un resultado de 2 con un residuo de 7, se realiza esto por ultima vez obteniendo un resultado de 0 con un residuo de 2. Luego escribimos el residuo desde el último hasta el primero, obteniendo así 2764.
- Octal – decimal
Tenemos el número octal 459, donde enumeramos los dígitos de izquierda a derecha, 4=2, 5=1, 9=0, lo anterior seria la notación de la base la cual es 8, lo cual se multiplicaría con el número correspondiente,4x8^2=256,5x8^1=40,9x8^0=9, luego se procede a sumarse, obteniendo de esta manera 305 en forma decimal.
- Decimal – hexadecimal
Tenemos el número decimal 345, esto lo dividimos continuamente entre 16, obteniendo de esta manera 21 y un residuo de 9, de igual forma se vuelve a dividir obteniendo 1 y un residuo de 5, luego tomamos el ultimo resultado con los dos residuos anteriores y transformándolo a la escala de hexadecimal, 1=1, 5=5 y 9=9, resultando ser 159 en hexadecimal.
- Hexadecimal – decimal
Tenemos el número hexadecimal 5A, tendríamos que enumerar este número de derecha a izquierda empezando con el 0, A=0 y 5=1, se coloca la base con la notación del lugar donde esta cada número multiplicado por cada número del lugar, 5x16^1=80, Ax16^0=10, sumando esto nos daría 90 en base decimal.
- Octal – hexadecimal
Tenemos el número 444 en base octal, primero se convierte en binario 100100100, esto se divide en grupo de 4 completando con 0 si hace falta, esto de derecha a izquierda 0001 0010 0100, esto se compara de binario a hexadecimal cuyo resultado sería de 124 con base hexadecimal.
- Hexadecimal – octal
Se tiene el numero octal 5CD, en donde en una primera instancia se compara con el sistema binario obteniendo así 0101 1100 1101, luego comparando el sistema binario con el octal separando el anterior numero en base binario en grupos de 3 de izquierda a derecha y rellenando con 0 si hace falta, de esta manera llevando este número binario 010 111 001 101 a octal, obteniendo como resultado 2715 con base octal.
Un número binario con signo queda determinado por su magnitud y signo. Este último es el bit más a la izquierda en un número binario y si su valor es 0 indica que el número es positivo y 1 que es negativo.
Existen tres formatos binarios para representar números enteros con signo:
• Signo-magnitud: Se le añade el bit de signo a la magnitud binaria deseada y asignar al bit de signo un 1 o un 0 si queremos que sea negativo o positivo respectivamente. Ejemplo:
+5 = 0101 -5 = 1101
• Complemento a 1: Los números positivos se expresan igual que en el formato signo magnitud. Sin embargo, los negativos se obtienen realizando el complemento a uno del número positivo. Ejemplo:
+3 = 0011 -3 = 1100
El número positivo equivalente a un número negativo se obtiene realizando el complemento a 1 del número negativo.
• Complemento a 2: Los números positivos se expresan igual que en la forma anterior, aunque los negativos se obtienen realizando el complemento a dos del número positivo. El complemento a dos se obtiene realizando el complemento a 1 y sumando uno a dicho número complementado a 1. Ejemplo:
+5 = 0101 -5 = (-5)c1 + 1 = 1011
El número positivo equivalente a un número negativo se obtiene realizando el complemento a 2 del número negativo.
Códigos Binarios
El código binario se trata de un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente dos cifras, cero y uno, con esto es capaz de representar la información utilizando exclusivamente estos dos estados.
Las compuertas lógicas utilizan el código binario para poder representar valores en sus entradas y proporcionar resultados. Las compuertas lógicas son los bloques con los que están construidos los flip-flops, sumadores, multiplexores, multiplicadores, decodificadores, registros (memorias), registros de desplazamiento. Por ejemplo, la letra A en el código binario se representa 1010, mientras que el número 1 se representa 0001. En otros códigos, esa misma información podría representarse binariamente como abab y bbba, o +*+* y ***+
Los códigos de Hamming es intercalar, o agregar, dígitos binarios adicionales a un código binario para que puedan detectarse y corregirse errores en la transmisión del código a través de un canal. Por ejemplo, supongamos que transmitimos el código 01101001, y se recibe como 01001001. En esta transmisión, el tercer bit más significativo se recibe erróneamente.
Ejemplos:
- BCD a Decimal
para convertir el número BCD 1100100001.
Dividir de 4 bits en 4 bits empezando de la derecha.
11 0010 0001
Si el grupo de la izquierda no completa 4 bits agregar los ceros necesarios a la izquierda.
0011 0010 0001
Cambiar el código por su equivalente en la tabla.
3 2 1
El número BCD 1100100001 equivale a 321 en decimal
- Decimal a BCD
Para convertir el decimal 463 a BCD, según lo explicado anteriormente, tenemos que tomar cada dígito decimal y transformarlo a su equivalente BCD.
De esta forma el decimal 463 equivale al BCD 010001100011
- Binario a Gray´
1100B) a Gray:
Ponemos el primer "1"
Hacemos 1⊕1 = 0 y lo colocamos tras el 1 anterior. Ya tenemos "10".
Hacemos 1⊕0 = 1 y lo colocamos tras el "10". Ya tenemos "101".
Finalmente, hacemos 0⊕0 = 0, y lo colocamos tras el "101". Hemos formado el "1010"
- Gray a Binario
1010GRAY).
Ponemos el "1" inicial.
Sumamos "0" (tercera cifra Gray) con "1" (cuarta cifra binaria). Nos da "1", que colocamos tras el "1" que teníamos, y habremos formado "11".
Sumamos "1" (segunda cifra Gray) con "1" (tercera cifra binaria). Nos da "0", que colocamos tras el "11", y ya habremos formado "110".
Finalmente, sumamos "0" (primera cifra Gray) con "0" (segunda cifra binaria). Nos da "0", que es la primera cifra binaria: hemos formado el número "1100", como ya sabíamos.´
- Decimal – exceso3
Convertir el número decimal 31 a código Exceso-3Miramos en la tabla el código BCD de cada dígito: 31 -> 0011 y 1 -> 0001
Añadimos 0011 a cada dígito:0011+0011 = 0110
0001+0011 = 0100
Resultado: El número decimal 31 en Exceso-3 es 0110 0100
- BCD a XS3
Convertir el BCD 00101001 a XS3
Separamos en grupos de bits. 0010 1001
Sumamos 00112 a cada grupo
0010 1001
+ 0011 +0011
-------- -------
0101 1100
El código XS3 01011100 equivale al BCD 00101001
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